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ガウシアンビームの光学 - その7 [ガウシアンビーム]

ちゃんと続いているガウシアンビームを自由空間の波動方程式から導こうと言う話。その1でHelmholtzの方程式、その2でその解として平面波、その3では近似を入れた近軸波動方程式、その4では軸対称解を探すために方程式を変形、その5ではガウシアンの形を仮定して軸対称な近軸波動方程式に代入して、その6では解を書き下して物理的にわかりやすい形(のはずだけどまだわからない)に変形した。

今回は得られた解の特徴をみるために、まずエネルギーを計算してみる....

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ガウシアンビームの光学 - その6 [ガウシアンビーム]

どうも先週月曜あたりからテレビやネットのニュースを見終わると、なぜか頭の中に「ウメ星デンカ」が残っていることがある。まあそんなことはどうでもいいけど、こないだからやってるガウシアンビームを自由空間の波動方程式から導こうと言う話。その1でHelmholtzの方程式を、その2でその解として平面波を、その3では$z$方向にはおおむね平面波的に伝播する近似を入れた近軸波動方程式を、その4では軸対称解を探すために方程式を変形して、前回のその5ではガウシアンの形を仮定して軸対称な近軸波動方程式に代入してみた。

今回は具体的なガウシアンビームの解を導く。数学は今日でおしまいで、次からは物理学の話になるはずである....

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ガウシアンビームの光学 - その5 [ガウシアンビーム]

ガウシアンビームを自由空間の波動方程式から導こうと言う話の続き。ちゃんと続いている。その1でHelmholtzの方程式を、その2でその解として平面波を、その3では$z$方向にはおおむね平面波的に伝播する近似を入れた近軸波動方程式を導いた。そして前回のその4では軸対称解を探すために方程式を変形した。

今回は、前回導いた軸対称な方程式の具体的な解を求めてみる。今日が一つ目の山場である....

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ガウシアンビームの光学 - その4 [ガウシアンビーム]

ガウシアンビームを自由空間の波動方程式から導こうと言う話の続き。その1でHelmholtzの方程式を、その2でその解として平面波を、その3では$z$方向にはおおむね平面波的に伝播する近似を入れた近軸波動方程式を導いた。

今回はその近軸波動方程式の解のうち平面波の次に簡単そうな、$z$軸周りに回転対称な解を探す準備をする....

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ガウシアンビームの光学 - その3 [ガウシアンビーム]

まだまだ先は長い。サクサク行こう。しかし、MathJaxは便利だし美しいし簡単だし、いいとこづくめですな。

自由空間の波動方程式から出発して、その1では時間に依存しない形のHelmholtzの方程式を導いて、その2では一番簡単な解として平面波を導いた。簡単だからと行ってバカにしてはいけない。これには非常に広範囲の応用があることは、知ってる人はみんな知ってるまったくその通りである。平面波を笑うものは平面波に泣く、である。なんのこっちゃ。

しかし今回は平面波を導くのが目的ではないので、本題に戻ってさっきとは別の形を考える....

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ガウシアンビームの光学 - その2 [ガウシアンビーム]

こないだ、「キュア・マクロン!」「キュア・ルペン!」「キュア・フィヨン!」「キュア・メランション!」「おまえ、語呂悪いな」というギャグを思いついたんだけど、時期を逸してしまった。

それはどうでもよくて、こないだから近軸方程式の解としてのガウシアンビームをじっくり導こうと始めた。前回は波動方程式を空間に依存する部分と時間に依存する部分の積に仮定しただけで終わった。サクサク行かないとまた他のネタに割り込まれてしまう。今日はその続き、一番簡単な解として平面波を導く....

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ガウシアンビームの光学 - その1 [ガウシアンビーム]

ずっと前近軸方程式からガウシアンビームを導くのをここでやろうと思っていた。それは
  1. 僕を含めた光学屋は平面波ばかりを扱って、悪く言えば「平面波ボケ」になってるのではないか
  2. 近軸方程式の扱いはそれほど難しくないのに、それなりに数学に味わいがある
  3. 僕は今半導体レーザを仕事で扱っていて、そこではガウシアンビームは基本の「キ」である
のでちょっと違うことをじっくり楽しみながらやりたいと思って先日始めた(もう去年のことになってしまった)。だけど何だったか先に済ませたいことができてほったらかしになっていた。これを再開して続きを書きたい。

でも式の埋め込みにMathJaxを使いたいので、完全に重複するけど、もう一度最初からやることにする。今回から普通にams-LaTeXで書く。ところでずっとLaTeX→HTML+MathJaxコンバータがないか探していたんだけど、なかなかいいのが見つからない。どうせ難しげなHTMLは書かないので、いいのが見つかるまで手動で変換することにした。ただし表なんかはめんどくさいのでtthに変換させてこぴぺすることにする。やってみると僕の場合それで十分なことがわかった。

それとひとこと最初に注意しておく。基本的には普通の教科書に載っているやりかたを踏襲するつもりだけど、これは「教科書」ではありません。間違いもあるだろうし、無駄なことやかえってわかりにくくなるようなことも書く。僕の揮発性の高い記憶力(高蒸気圧はMSDSに注意喚起しておかないといけないな。蒸気を吸うと鋭い忘却力がうつります)を補助するためとボケ防止のため、そしてそれを他の人と共有したり議論したりするために書く。

もちろん勉強中の学生さんとかに突っ込んでもらうのは大歓迎である。ただし、別にもう一つ頼りになる教科書を持つなり、途中の計算をちゃんと自分でチェックするなりしていただきたい。鵜呑みにしたら痛い目に会います。今から予言しておきます(予言とは言わんか)。

それでは、とざい、とーざい。まだまだ申し述べたき口上は数々ございますれども、長口上は芸当番数の妨げ、自由空間の波動方程式からスタートいたしまする....

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